Queuing Simulation of University Restaurants Based on Flexsim
李伟伟 LI Wei-wei；王铮 WANG Zheng；陶阳 TAO Yang
（中国矿业大学，北京 100089）
（China University of Mining and Technology，Beijing 100089，China）
摘要：本文以某高校餐厅排队系统为研究对象，首先从运筹学排队论的角度分析排队系统。然后通过实地测量数据进行数据的独立性分析、数据分布形式的假定、分布参数估计以及拟合优度检验来确保仿真输入数据的准确性。最后利用Flexsim软件，对餐厅排队进行仿真，分析输出结果，得到该餐厅应设立的窗口数，从而缓解餐厅的拥挤程度。
Abstract: This paper takes the queuing system of a university restaurant as the research object. Firstly, analyze the queuing system from the perspective of operation research queuing theory. Then, ensure the accuracy of the input data by test independence, assumption of data distribution form, parameters estimation and goodness of fit. Finally, with the Flexsim software, the restaurant queue is simulated and the results are analyzed to obtain the number of windows that the restaurant should establish, so as to alleviate the restaurant congestion.
关键词：排队论；独立性检验；参数估计；拟合优度检验；卡方检验；Flexsim
Key words: queuing theory；test independence；parameter estimation；goodness of fit；chi-square test；flexsim
中图分类号：O226 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2019）22-0026-04
0 引言
目前大多数高校餐厅在就餐高峰期十分拥挤，已经有不少学者对此问题进行了研究并且提出了一系列的对策。例如李秀妍利用仿真软件Flexsim建立了快餐店仿真模型[1]，陶雷基于Arena对餐饮业服务仿真模型进行研究[2]，王念社利用仿真软件QUEST对大型的餐厅服务系统进行仿真并分析了不同规划设施对餐厅运营状态的影响[3]，周泓对生产系统进行建模仿真的研究[4]。
但是大部分采用仿真软件对高校餐厅进行优化的论文，没有严格遵循离散事件系统仿真的一般步骤研究，导致模型建立、数据采集、运行和结果分析等等许多步骤中存在着纰漏，难以使得建立的仿真系统逼近餐厅实际运行情况。而利用运筹学排队论方法时并不能很好地反应出餐厅实际动态运行情况，不能给人直观的视觉效果，难以令人信服。
本文以某高校的餐厅为例，在采集大量数据的基础上，进行数据的独立性判别、分布形式假定、参数估计、拟合优度检验等来保证输入数据的准确性，利用Flexsim软件建立餐厅排队仿真系统，对仿真进行输出分析，改变窗口的个数来减少排队的长度。
1 餐厅的系统分析
1.1 餐厅的背景
目前该高校的餐厅开设了10个窗口，窗口前可供排队的长度仅仅在4米左右。在高峰期时窗口排队的人数队伍长达十几个人，因此有学生排队时会占用到餐桌之间的重要通道，这不仅造成餐厅的流通性大大降低，增加拥挤程度，严重的情况下可能会造成踩踏事件，造成人员伤亡。
因此针对餐厅中存在的问题进行研究，发现高峰期餐厅的窗口数目设置并不合理，增加窗口数是减少队列长度十分有效的办法。因此决定利用Flexsim软件来对餐厅排队进行建模仿真，直观展示出增加窗口数对队列长的影响。
1.2 窗口排队分析
运筹学排队论是通过服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律，如等待时间、排队长度、忙期长短等等，然后根据这些规律来对服务系统进行重新管理或组织，来使得服务系统的某些指标达到管理者预期的希望。本文所研究的餐厅的服务系统是由餐厅和学生组成，餐厅的排队系统主要包括三个部分：学生的到达、餐厅排队规则和餐厅服务机构。
1.3 学生的到达
通常用学生的到达时间间隔分布来描述输入过程，这一规则在随后进行餐厅排队仿真时也会用到，在Flexsim中发生器需要选择学生的到达时间间隔分布。根据不同的时间间隔可以分为（负）指数分布、定长输入、埃尔朗输入、伯努利输入等等。
通过查阅研究排队论的文献发现，学生的到达服从泊松分布。据此首先假设学生的到达服从泊松分布（后面会通过测量数据，来验证学生的到达服从泊松分布），学生到达的时间间隔服从负指数分布，下面对学生的到达时间间隔服从负指数分布进行证明：
设Pn（t）表示长为t的时间区间内到达n个学生，?姿＞0是常数，它表示单位时间平均到达的学生数量，称为为概率强度。那么有：
■
设T表示排队系统中学生到达的间隔时间，随机变量T的概率密度函数为：
■
则称T服从负指数分布。它的分布函数是
■
当餐厅的学生输入为泊松流时，在[0，t）区间内至少有一个学生到达的概率是：
■
因此，学生相继到达的时间间隔是独立且相同的负指数分布与输入过程为泊松流是等价的，并且有数学期望
E[T]=■。
1.4 餐厅排队规则
排队规则分为等待制排队系统、损失制排队系统、混合制排队系统。等待制排队系统是指如果顾客到达系统时，虽然没有空闲的服务台，但是仍然进入系统进行排队等候；如果顾客到达排队系统但此时没有空闲的服务台，如果顾客离开了系统，就称之为损失制排队系统；混合制排队系统就是等待制和损失制系统的结合。对于等待制排队系统又有如下几种提供服务的规则：先到先服务、后到先服务、随机服务。
显然高校餐厅的排队系统属于等待制排队系统，并且服务规则为先到先服务。除此之外，规定当学生进入排队系统之后不允许退出也不能插队或者互相转移。
1.5 餐厅服务机构
服务机构和工作情况来看主要分为：（a）单队—单服务台；（b）多队—多服务台（并列）；（c）单队—多服务台（并列）；（d）多服务台（串列）的情形；（e）是多服务台（混合）的情形。如图1服务机构种类所示。
该高校餐厅的餐厅服务机构属于图1中（b），并且通过实地观察发现餐厅的窗口数为10。
2 仿真数据分析
在系统仿真与建模的过程中，数据采集、处理与分析是一项十分复杂的工作。输入的数据不正确，及时模型建立得很准确，系统仿真的输出结果也就毫无意义可言。因此想要获得高精度的输出结果，正确的数据输入就显得尤为重要。
对仿真模型的输入数据进行分析主要包含以下四个步骤：
①检查数据的独立性。
②数据分布形式的判断。
③分布参数估计。
④拟合优度检验。
连续5天在中午11:00-12:00时，测得了300组每分钟到达学生数的数据，下面按照以上的四个步骤对该高校餐厅进行实际的数据处理与分析。
2.1 独立性检验
为了保证这些数据是独立的源自于某个总体分布，需要对采集的数据进行分析时，先进行独立性检验。一般先采用粗略的检验方法来确定数据是否具有独立性，如果不独立，那么说明数据是无效的，如果独立，才会进行下一步，这样可以省去很多其他繁琐的工作。通常有相关图法和散点图法，散点图法是在一个平面直角坐标系内，将样本数据X1，X2，…，Xn以点对（Xi，Xi+1）（i=1，2，…n-1）的形式绘制而成的图形。如果数据X1，X2，…，Xn独立，那么这些点对应该随机地散布在平面坐标系的第一象限。
在这里采用了散点图法来判断所搜集学生到达人数的数据是否具有独立性。根据测得的300个学生样本数据，可以绘制出相应的散点图，如图2所示。
根据图2可以初步判定，测量的样本数据大致是独立的。
2.2 数据分布形式的假定
现已知测得的数据大致是独立分布的，为了确定每分钟到达人数的分布，需要确定这些数据能否拟合出一个概率分布。通常用来确定一个拟合最优的理论分布函数的方法是点统计法和直方图法。
在这里选择了直方图法，利用测量的学生每分钟到达餐厅的人数，通过绘制直方图可以得到相应总体分布的概率密度函数的基本图形估计。
选择就餐高峰期时段11:00-12:00时段，记录每1分钟到达餐厅的人数，统计300组，总时间为300分钟，总人数为9349人。在直方图中，横坐标代表组别，将数据分成了8组，即15~20人、20~25人、25~30人…50~55人，纵坐标代表每个组别的频数。记录每个组别中的频数，绘制出餐厅每分钟到达人数的直方图，如图3所示。
观察图3发现得到的直方图与泊松分布的图形相似，因此假设餐厅学生每分钟到达的人数是服从参数为?姿的泊松分布。
2.3 分布参数估计
在前面已经根据测得的样本数据判定其服从泊松分布，接下来再由样本数据估计所服从分布的参数。常见的分布参数估计的方法有极大似然估计、最小二乘估计法和无偏估计法等，在此利用极大似然估计来确定泊松分布的参数?姿。
极大似然估计方法是由高斯提出，但是归功于罗纳德·费希尔。若总体X为离散型，其概率分布为P{X=x}=p（x；?兹），?兹是待估计参数，p（x；?兹）表示估计参数为?兹时发生x的概率。当（X1，X2，…，Xn）的一组观测值为（x1，x2，…，xn）时， L（?兹）就是样本的似然函数。
■
已知
■
则极大似然函数为
■
■
■
令d ln L / d?姿=0，得到■，对测得的300组样本数据求均值得到参数?姿=31.163333，即所服从的泊松分布的参数?姿=31.163333。
2.4 拟合优度检验
估计完分布的参数后，然后检验所拟合的分布是否与样本数据吻合，就是拟合优度检验。作出假设H0：学生是以参数?姿=31.163333的泊松过程。由表1可知?字2=12.44215477，在显著性水平为0.05时，查询卡方分布表可知?字2＜?字0.05（7）2=14.067，所以接受假设H0，学生的到达率是服从参数?姿=31.163333的泊松过程。同理可以得到窗口的服务率服从参数为?姿=2.857143的泊松过程。
3 模型仿真
3.1 数据准备
在之前已经得到学生的到达率和窗口的服务率分别服从参数?姿=31.163333和参数为?姿=2.857143的泊松过程，由1.2.1节中得到到达时间间隔的数学期望E[T]=1/?姿，因此在Flexsim中学生到达率和窗口服务率的时间间隔服从期望值为0.032089和0.350000的负指数分布。且实地测量得到该餐厅高峰期的窗口数为10个，因此设立10个处理器（窗口）和10个暂存区（队列）。
3.2 模型建立与运行
在Flexsim中添加发生器、暂存区、处理器和吸收器，分别代表学生到达、队列、餐厅窗口和学生离开，将这些实体进行A连接。连接完毕后，根据仿真数据分析中求得的数据来设定各实体模型的参数，设定仿真时间为60分钟。原始餐厅排队仿真的模型及运行情况如图4所示。
3.3 仿真结果分析与优化
仿真运行60分钟后发现当高峰期窗口数为10个时，餐厅10个队列最大长度的均值为16.5人，但窗口前仅仅有4米长的排队空间，因此有7-8位左右的学生不能站在窗口前的排队空间而进入到通道中，使得餐厅的流通性大大降低。
针对当前的问题，决定增设窗口来研究队列长度和窗口数的关系，在Flexsim中增设一个队列（暂存区）和一个窗口（处理器）后，队列最大长度的均值为7人，此时4米的排队空间完全可以容纳下7人，高峰期学生几乎不再会进入通道使得餐厅的流通性提高，因此建议该校餐厅在高峰期将窗口数从10个增设到11个。
4 结论
本文通过严谨的仿真数据分析来确保数据的准确性，并且将处理和分析过后的数据作为高校餐厅排队仿真的输入数据，因此仿真的精度大大提高。利用Flexsim仿真软件建模来对高校高峰期窗口设立的数量进行研究，对仿真结果进行分析并得出应设立的窗口数，提高了餐厅的流动性，缓解了高峰期餐厅拥挤的程度，给学生提供一个优质的就餐环境。
参考文献：
[1]李秀妍，刘俊婷.基于FlexSim的快餐店仿真模型 [J].价值工程，2017（34）.
[2]陶雷，黄宏，香陈，泳娟，周业韬.基于Arena的餐饮业服务仿真模型研究[J].价值工程，2015（06）.
[3]王念社.大型餐厅服务系统离散仿真研究 [D].哈尔滨工程大学工学硕士学位论文，2008.
[4]周泓，邓修权，高德华.生产系统建模与仿真 [M].机械工业出版社，2012. |
